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Lecciones de matemática. Tomo 1: Análisis
[9785484010516]

Lecciones de matemática. Tomo 1: Análisis

Autor(es): V. Boss

El presente libro se caracteriza por una exposición concisa y clara de los temas tratados, valiéndose de analogías y sin entrar en detalles innecesarios. Se presta especial atención a la interrelación de los resultados y al enfoque general del material considerado. En la primera parte se expone todo el material abarcado en los cursos tradicionales de análisis matemático.

La segunda parte del libro (no obligatoria) contiene estudios y complementos a manera de apuntes, cuyo objetivo es proporcionar una idea sobre algunos temas cercanos al análisis matemático: análisis vectorial, funciones analíticas, topología y puntos fijos. Los temas considerados habitualmente como de alta dificultad son analizados a un nivel accesible. Por esta razón, el libro se lee sin dificultad.

Para estudiantes, profesores, ingenieros y científicos.

Indice:
  • Prólogo
  • 1 Material preliminar
    • 1.1. Combinatoria
    • 1.2. Binomio de Newton
    • 1.3. Polinomios
    • 1.4. Números complejos
    • 1.5. Función exponencial y función logarítmica
    • 1.6. Conjuntos
  • 2 Sucesiones y límites
    • 2.1. Conceptos preliminares
    • 2.2. Teorema del emparedado
    • 2.3. Criterio de Cauchy
    • 2.4. El número e y otros límites
    • 2.5. Lemas de Bolzano--Weierstrass y de Heine--Borel
    • 2.6. Límite de una función
    • 2.7. Continuidad
    • 2.8. Series numéricas
    • 2.9. Hipnosis y matemática
  • 3 Derivación
    • 3.1. Derivada
    • 3.2. Reglas de derivación
    • 3.3. ¿Para qué son necesarias las derivadas?
    • 3.4. Deducción de fórmulas
    • 3.5. Diferenciales
    • 3.6. Teorema del valor medio
    • 3.7. Fórmula de Taylor
    • 3.8. Monotonía, convexidad, extremos
    • 3.9. Ecuaciones diferenciales
    • 3.10. Eliminación de indeterminaciones
    • 3.11. Contraejemplos
  • 4 Funciones de n variables
    • 4.1. Espacio n-dimensional
    • 4.2. Escollos de la multidimensionalidad
    • 4.3. Límite y continuidad
    • 4.4. Límites reiterados
    • 4.5. Derivadas parciales y diferencial
    • 4.6. Diferenciales de órdenes superiores. Serie de Taylor
    • 4.7. Gradiente
    • 4.8. Teorema del valor medio
    • 4.9. Funciones vectoriales
    • 4.10. Análisis lineal
    • 4.11. Normas equivalentes
    • 4.12. Principio de contracción
    • 4.13. Puntos fijos de operadores discontinuos
    • 4.14. Diferenciabilidad de un operador
    • 4.15. Funciones inversas y funciones implícitas
    • 4.16. Optimización
    • 4.17. Multiplicadores de Lagrange
  • 5 Integración
    • 5.1. Definiciones y cuadro general
    • 5.2. Especificaciones y formalismos
    • 5.3. Teoremas del valor medio
    • 5.4. Métodos de integración
    • 5.5. Ecuaciones diferenciales
    • 5.6. Integrales impropias
    • 5.7. Integrales dependientes de un parámetro
    • 5.8. Integrales dobles
    • 5.9. Integrales múltiples
    • 5.10. Problemas de mecánica
  • 6 Series funcionales
    • 6.1. Convergencia uniforme
    • 6.2. Series de potencias
    • 6.3. Desarrollos ortogonales
    • 6.4. Series de Fourier
    • 6.5. Integral de Fourier
  • 7 Elementos de análisis vectorial
    • 7.1. Coordenadas y orientación
    • 7.2. Producto vectorial
    • 7.3. Cinemática
    • 7.4. Divergencia
    • 7.5. Operador de Hamilton
    • 7.6. Circulación
  • 8 Del número al espacio funcional
    • 8.1. Números reales
    • 8.2. La dificultad del infinito
    • 8.3. Caracterización de los conjuntos
    • 8.4. Medida de Lebesgue
    • 8.5. El axioma de elección
    • 8.6. Espacios funcionales
    • 8.7. El teorema de Jordan y la paradoja de Brouwer
  • 9 Topología y puntos fijos
    • 9.1. La ideología del recubrimiento
    • 9.2. Campos vectoriales homotópicos
    • 9.3. Teoremas fundamentales
    • 9.4. Resolubilidad de ecuaciones
    • 9.5. Orientación
    • 9.6. Índices y número algebraico de ceros
    • 9.7. Campos impares
    • 9.8. Vectores propios
    • 9.9. Funciones inversas e implícitas
  • 10 Funciones analíticas
    • 10.1. Sobre el misterio de los números complejos
    • 10.2. Diferenciabilidad
    • 10.3. Propiedades elementales
    • 10.4. Integrales de contorno
    • 10.5. Integral de Cauchy
    • 10.6. Regularidad
    • 10.7. Prolongación analítica
    • 10.8. Funciones multiformes
    • 10.9. Sobre lo que aún no hemos hablado
  • Notaciones
  • Índice de materias

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